Question

已知函數在[1，＋∞）上為增函數，且θ∈（0，π），，m∈R．

（1）求θ的值；

（2）若在[1，＋∞）上為單調函數，求m的取值范圍；

（3）設，若在[1，e]上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）m的取值范圍是（3）的取值范圍是

解析:

（1）由題意，≥0在上恒成立，即．

         ∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，

         只須，即，只有．結合θ∈（0，π），得．

（2）由（1），得．．

∵在其定義域內為單調函數，

∴或者在[1，＋∞）恒成立．  等價于，即，

     而 ，（）_max=1，∴．

等價于，即在[1，＋∞）恒成立，

而∈（0，1]，．

綜上，m的取值范圍是．

（3）構造，．

當時，，，，所以在[1，e]上不存在一個，使得成立．

當時，．

因為，所以，，所以在恒成立．

故在上單調遞增，，只要，

解得．

故的取值范圍是．