Question

【題目】隨著城市化建設步伐，建設特色社會主義新農村，有n個新農村集結區，，，…，按照逆時針方向分布在凸多邊形頂點上()，如圖所示，任意兩個集結區之間建設一條新道路，兩條道路的交匯處安裝紅綠燈(集結區，，，…，除外)，在凸多邊形內部任意三條道路都不共點，記安裝紅綠燈的個數為.

（1）求，；

（2）求，并用數學歸納法證明.

Answer 1

【答案】（1），.（2）答案見解析

【解析】

（1）直接根據圖像得到答案.

（2），驗證時成立，假設時成立，計算時也成立，得到答案.

（1）如圖所示：，

（2），

①，，命題成立；

假設()時，

則時，，，，…，，按逆時針方向排列，依次連結，，……，可增加k條道路，則與凸四邊形內部的道路交點為0；

與凸四邊形內部的道路交點為；

與凸四邊形內部的道路交點為；

依次類推

與凸四邊形內部的道路交點為；

則

.

故.