Question

設

a

=（-1，1），

b

=（x，3），

c

=（5，y），

d

=（8，6），且

b

∥

d

，（4

a

+

d

）⊥

c

．
（1）求

b

和

c

；
（2）求

c

在

a

方向上的射影；
（3）求λ₁和λ₂，使

c

=λ₁

a

+λ₂

b

．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線定理即可得出6x-24=0；利用向量垂直與數量積的關系(4

a

+

d

)⊥

c

?(4

a

+

d

)•

c

=0即可得出；
（2）利用

c

在

a

方向上的射影公式|

c

|cos＜

a

，

c

＞及夾角公式即可得出；
（3）利用向量相等即可得出．

解答：解：（1）∵

b

∥

d

，∴6x-24=0．∴x=4．
∴

b

=(4，3)．
∵4

a

+

d

=（4，10），
（4

a

+

d

 ）⊥

c

，∴5×4+10y=0．∴y=-2．
∴

c

=（5，-2）．
（2）cos＜

a

，

c

＞=

a • c

| a | | c |

=

-5-2

2 • 29

=-

7 58

58

，
∴

c

在

a

方向上的投影為|

c

|cos＜

a

，

c

＞=-

7

2

2

．
（3）∵

c

=λ1

a

+λ2

b

，
∴

5=-λ1+4λ2 -2=λ1+3λ2

，
解得λ₁=-

23

7

，λ₂=

3

7

．

點評：熟練掌握向量共線定理、向量垂直與數量積的關系(4

a

+

d

)⊥

c

?(4

a

+

d

)•

c

=0、

c

在

a

方向上的射影公式|

c

|cos＜

a

，

c

＞及夾角公式、向量相等是解題的關鍵．