Question

選修4—5：不等式選講（10分）：

（1）已知正數a、b、c，求證：++≥

（2）已知正數a、b、c，滿足a＋b＋c=3，

求證：++≥1

 

Answer 1

【答案】

證明略

【解析】證明：（1）正數a、b、c，、、亦為正數，所以由柯西不等式得

（++）（a+b+c）≥（++）=9  -------3分

               “=”成立當且僅當a=b=c           -----------4分

       即++≥                         ----------5分

       （2）由（1）得

++≥ ==  (“=”成立當且僅當a=b=c) ---7分

       由均值不等式得≤=1a+b+c≤3     

       (“=”成立當且僅當a=b=c)                    -----------9分

       0< 6+（a+b+c）≤9≥≥1

  即++≥1 (“=”成立當且僅當a=b=c) --------10分