Question

（本小題滿分12分）為了了解某年段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）;……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數為8.

（Ⅰ）將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數；

（Ⅱ）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；

（Ⅲ）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率.

Answer 1

解:（Ⅰ）百米成績在[16,17)內的頻率為0.321=0.32 ,又0.321000=320

∴估計該年段學生中百米成績在[16,17)內的人數為320人.   2分

（Ⅱ）設圖中從左到右前3個組的頻率分別為3x，8x ，19x 依題意，得

     3x+8x+19x+0.321+0.081=1 ，∴x=0.02

設調查中隨機抽取了n 個學生的百米成績，則    ∴n=50

∴調查中隨機抽取了50個學生的百米成績.      6分

（Ⅲ）百米成績在第一組的學生數有30.02150=3，記他們的成績為a，b，c

百米成績在第五組的學生數有0.08150= 4，記他們的成績為m，n，p，q

      則從第一、五組中隨機取出兩個成績包含的基本事件有

{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},

{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21個

其中滿足成績的差的絕對值大于1秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12個，  所以P=.