Question

【題目】如圖，四棱錐PABCD中，側面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M為PC的中點．

(1)求證：PC⊥AD.

(2)在棱PB上是否存在一點Q，使得A，Q，M，D四點共面？若存在，指出點Q的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）取AD的中點O，連接OP，OC，AC，由線面垂直判定定理證明AD⊥平面POC，繼而得到PC⊥AD

（2）取棱PB的中點Q，連接QM，證明QM∥AD，從而A，Q，M，D四點共面

(1)證明：如圖，取AD的中點O，連接OP，OC，AC.

依題意可知△PAD，△ACD均為正三角形．

所以OC⊥AD，OP⊥AD.

又OC∩OP＝O，OC平面POC，OP平面POC，所以AD⊥平面POC.

又PC平面POC，所以PC⊥AD.

(2)解：當點Q為棱PB的中點時，A，Q，M，D四點共面．

證明如下：

取棱PB的中點Q，連接QM.

因為M為PC的中點，所以QM∥BC.

在菱形ABCD中，AD∥BC，所以QM∥AD.

所以A，Q，M，D四點共面．