Question

如圖，河道上有一座拋物線型拱橋，在正常水位時，拱圈最高點距水面為8m，拱圈內水面寬16m．，為保證安全，要求通過的船頂部（設為平頂）與拱橋頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m．
（1）一條船船頂部寬4m，要使這艘船安全通過，則　　　 船在水面以上部分高不能超過多少米？
（2）近日因受臺風影響水位暴漲2.7m，為此必須加重船載，降低船身，才能通過橋洞．試問：一艘頂部寬m，在水面以上部分高為4m的船船身應至少降低多少米才能安全通過？

Answer 1

解：（1）如圖所示，以過拱橋的最高點且平行水面的直線為X軸，最高點O為原點建立直角坐標系（1分）
設拋物線方程為x²=-2py，將點（8，-8）代入得2p=8，
∴拋物線方程是x²=-8y，（4分）
將x=2代入得，8-0.5-0.5=7，
故船在水面以上部分高不能超過7米．（6分）
（2）將代入方程x²=-8y得y=-1，（8分）
此時1+0.5+2.7+4=8.2，
故船身應至少降低0.2米（10分）
分析：（1）設拋物線方程x²=-2py，拋物線過點點（8，-8）代入拋物線方程求出參數p 即得拋物線方程，最后令其x=2即可得出船在水面以上部分高不能超過多少米．
（2）把x=2代入拋物線的方程求得y值，由1+0.5+2.7+4=8.2，可知船身應至少降低0.2米能安全通過此橋．
點評：本題考查用待定系數法求拋物線的標準方程的方法，以及利用拋物線的方程解決實際問題．