Question

已知函數f(x)=sinx-xcosx+

1

2

，
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）不等式f(x)＜

1

3

x3+a在區間（0，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數，令導函數大于0求出x的范圍即單調遞增區間；令導函數小于0求出x的范圍即單調遞減區間
（2）構造函數g（x），求出g（x）的導函數，再構造函數h（x），求出h（x）的導函數，判斷出h（x）的符號，求出h（x0的最大值，進一步求出g（x）的符號，判斷出g（x）的取值范圍，求出a的范圍．

解答：解：函數f（x）的定義域為R，
f′（x）=cosx-[cosx+x（-sinx）]=xsinx
當2kπ＜x＜2kπ+π，或2kπ-π＜x＜2kπ（k∈z）時f'（x）＞0
當2kπ+π＜x＜2kπ+2π，或2kπ-2π＜x＜2kπ-π，（k∈Z，）時f'（x）＜0
所以f（x）增區間為[2kπ，2kπ+π]，[2kπ-π，2kπ]（k∈Z，）
f（x）的減區間為[2kπ+π，2kπ+2π]，[2kπ-2π，2kπ-π]（k∈z）
（2）不等式f(x)＜

1

3

x3+a在區間（0，+∞）上恒成立
所以a＞f(x)-

1

3

x3在區間（0，+∞）上恒成立
設g(x)=f(x)-

1

3

x3=sinx-xcosx+

1

2

-

1

3

x3(x＞0)
則g'（x）=-x²+xsinx=x（sinx-x）
設h（x）=sinx-x（x＞0），
則h'（x）=-cosx-1≤0
所以h（x）在區間（0，+∞）為減函數
h（x）=sinx-x＜h（0）=0
∴g′（x）＜0
所以g（x）在區間（0，+∞）為減函數，
∴g(x)＜g(0)=

1

2

所以a≥

1

2

點評：利用等式求函數的單調區間，先求出導函數，令導函數大于0求出x的范圍即為單調遞增區間；令導函數小于0得到x的范圍即為單調遞減區間；解決不等式恒成立問題，一般先分離參數，通過構造新函數，通過導數求出函數的最值，進一步求出參數的范圍．