Question

【題目】如圖，斜三棱柱中，側面為菱形，底面是等腰直角三角形，，C.

（1）求證：直線直線；

（2）若直線與底面ABC成的角為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證平面，再證平面，可證直線直線

（2）由作AB的垂線，垂足為D，則 平面ABC，過A作的平行線，交于E點，則平面ABC，以AB,AC,AE分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，由空間向量法可求得二面角。

證明：連接，

側面為菱形，

，

又C，，

平面，

，又，，

平面，

平面，直線直線；

解：由知，平面平面，由作AB的垂線，垂足為D，則 平面ABC，

，得D為AB的中點，

過A作的平行線，交于E點，則平面ABC，

建立如圖所示的空間直角坐標系，設，

則 為平面的一個法向量，

則0，，2，， ，

設平面的法向量 ，

由，取，得 ，

，

故二面角的余弦值為．