Question

本小題滿分12分）

已知點P（4，4），圓C：與橢圓E：

有一個公共點A（3，1），F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線PF₁與圓C相切．

（Ⅰ）求m的值與橢圓E的方程；

       （Ⅱ）Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．

 

w.

 

Answer 1

【答案】

 

(1) , m＝1

(2) [－12，0]

【解析】．解：（Ⅰ）點A代入圓C方程，      得．∵m＜3，∴m＝1． 2分

圓C：．設直線PF₁的斜率為k，

則PF₁：，即．∵直線PF₁與圓C相切，

∴．

解得．   ……………… 4分

當k＝時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去．

當k＝時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為－4，

∴c＝4．F₁（－4，0），F₂（4，0）．            …………………… 5分

2a＝AF₁＋AF₂＝，，a²＝18，b²＝2．

橢圓E的方程為：．              …………………… 7分

(法二)直接設直線的方程為：去求c .

（Ⅱ），設Q（x，y），，

．            …………………… 9分

（法一） 設,則是直線在軸上的截距，所以當

， 取得最大值與最小值，把直線方程代入橢圓方程得：由，

得， 的取值范圍是[－6，6]．

∴的取值范圍是[－12，0]．    ……… 12分

(法二)∵，即，

而，∴－18≤6xy≤18．                    

則的取值范圍是[0，36]．     

的取值范圍是[－6，6]．

∴的取值范圍是 [－12，0]．  …………………… 12分