Question

設函數y=f（x）的圖象是曲線C₁，曲線C₂與C₁關于直線y=x對稱．將曲線C₂向右平移1個單位得到曲線C₃，已知曲線C₃是函數y=log₂x的圖象．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）設a_n=nf（x）（n∈N^*），求數列{a_n}的前n項和S_n，并求最小的正實數t，使S_n＜ta_n對任意n∈N^*都成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據函數的圖象的平移法則可求曲線C₂的圖象，由曲線C₂與曲線C₁關于直線y=x對稱，即曲線C₂是函數y=log₂（x+1）的反函數可求
（II）由題設：a_n=n×2ⁿ-n，，利用分組求和及錯位相減可求S_n，使S_n＜ta_n對任意n∈N^*都成立．即S_n-ta_n＜0恒成立，
解答：解：（I）由題意知，曲線C₃向左平移1個單位得到曲線C₂，∴曲線C₂是函數y=log₂（x+1）的圖象．…（2分）
曲線C₂與曲線C₁關于直線y=x對稱，∴曲線C₂是函數y=log₂（x+1）的反函數的圖象y=log₂（x+1）的反函數為y=2^x-1
∴f（x）=2^x-1…（4分）
（II）由題設：a_n=n×2ⁿ-n，n∈N^*S_n=（1×2¹-1）+（2×2²-2）+（3×2³-3）+…+（n•2ⁿ-n）=（1×2¹+2×2²+3×2
²+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）…（6分）==①
2S_n=（1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹）-n（n+1）②
由②-①得，
，==…（8分）
當=S₁-2a₁=-1＜0，S₂-2a₂=-5＜0，S₃-2a₃=-14＜0
當n≥4時，∴當t=2時，對一切n∈N^*，S_n＜2a_n恒成立．
當0＜t＜2時，=
記，則當n大于比M大的正整數時，
也就證明當t∈（0，2）時，存在正整數n，使得S_n＞ta_n．
也就是說當t∈（0，2）時，S_n≤ta_n不可能對一切n∈N^*都成立．∴t的最小值為2．…（14分）
點評：本題以函數的圖象的平移變換為切入點，考查了互為反函數的函數解析式的求解，數列的求和的錯位相減求和的應用，解答的難點在于試題的計算及邏輯推理