Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分別是PC，PD，BC的中點．
（1）求證：平面PAB∥平面EFG；
（2）在線段PB上確定一點Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明；
（3）求出D到平面EFG的距離．

Answer 1

分析：（1）由已知可得EG∥PB，從而可證EG∥平面PAB，則只要再證明EF∥平面PAB，即證EF∥AB，結合已知容易證，根據平面與平面平行的判定定理可得
（2）若使得PC⊥平面ADQ，即證明PC⊥平面ADE，當Q為PB的中點時，PC⊥Ae，AD⊥PC即可
（3）結合已知可考慮利用換頂點V_D-EFG=V_G-EFD，結合已知可求

解答：（1）證明：E，G分別是PC，BC的中點得EG∥PB
∴EG∥平面PAB
又E，F分別是PC，PD的中點，
∴EF∥CD，又AB∥CD
∴EF∥AB
∵EF?p平面PAB，AB⊆平面PAB
∴EF∥平面PAB
又∵EG，EF?平面EFG，EG∩EF=E
∴平面PAB∥平面EFG
（2）Q為PB的中點，連QE，DE，又E是PC的中點，
∴QE∥BC，又BC∥AD∴QE∥AD
∴平面ADQ即平面ADEQ∴PD⊥DC，又PD=AB=2，ABCD是正方形，
∴等腰直角三角形PDC
由E為PC的中點知DE⊥PC
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AD又AD⊥DC
∴AD⊥面PDC
∴AD⊥PC，且AD∩DE=D
∴PC⊥平面ADEQ，即證PC⊥平面ADQ
（3）連DG，取AD中點H，連HG，HF，設點D到平面EFG的距離為h．H，G為AD，BC中點可知HG∥DC，又EF∥DC
∴HG∥EF
∴G到EF的距離即H到EF的距離
∵PD⊥DC，AD⊥DC
∴DC⊥面PAD，又EF∥DC
∴EF⊥面PAD
∴EF⊥HF
∴HF為G到EF的距離，由題意可知EF=1，HF=

2

，S△EFG=

1

2

×1×

2

=

2

2

∵AD⊥面PDC，GC∥AD
∴GC⊥面PDC
∴G到面EFD的距離為CG=1
又可知EF=DF=1，S△EFD=

1

2

×1×1=

1

2

∴VD-EFG=VG-EFD∴

1

3

×

2

2

×h=

1

3

×

1

2

×1∴h=

2

2

點評：本題主要考察了面面平行的判定定理的應用，線線平行、線面平行、面面平行的相互轉化，線面 垂直的判定定理的應用，及利用換頂點求解三棱錐的體積等知識的綜合應用，此類試題也是立體幾何的重點考察的試題類型