Question

（12分）已知函數.

（Ⅰ）若函數的最大值為1，求實數的值； 

（Ⅱ）設，證明：對任意，.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；

（Ⅱ）證明略。

【解析】(Ⅰ) f(x)的定義域為(0,+)，.  … 1分

當a≥0時，＞0，故f(x)在(0,+)單調增加；              … … 2分

當a≤－1時，＜0, 故f(x)在(0,+)單調減少；             … … 3分

當－1＜a＜0時，令＝0,解得x=.當x∈(0, )時, ＞0；

x∈(，+)時，＜0, 故f(x)在（0, ）單調增加，在（，+）單調減少.                        … 5分

當－1＜a＜0時 有最大值，解得… 6分

(Ⅱ)不妨假設x₁≥x₂.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）單調減少.

所以等價于≥4x₁－4x₂,       … … 8分

即f(x₂)+ 4x₂≥f(x₁)+ 4x₁. 令g(x)=f(x)+4x,則   

+4＝.          … … 10分

于是≤＝≤0.            … … 11分

從而g(x)在（0，+）單調減少，故g(x₁) ≤g(x₂)，

即f(x₁)+ 4x₁≤f(x₂)+ 4x₂，故對任意x₁,x₂∈(0,+) ，.… 12分