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如圖，已知為平面上的兩個定點，為動點，，且， （是和的交點）

⑴建立適當的平面直角坐標系求出點的軌跡方程；

⑵若點的軌跡上存在兩個不同的點，且線段的中垂線與（或的延長線）相交于一點，證明：（為的中點）

解：⑴如圖1，以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系

由題設，

，而

點是以為焦點、長軸長為的橢圓，故點的軌跡方程為

⑵如圖2，設，，且，

即，又在軌跡上，

即

代入整理得：

，   

≤≤，≤≤，≤≤

，

，即。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知圓C的方程為：x2+y2-6x-8y+21=0，平面上有A（1，0）和B（-1，0）兩點．
（I）在圓上求一點Q，使△ABQ的面積最大，并求出最大面積；
（II）在圓上求一點P，使|AP|2+|BP|2取得最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•普陀區一模）如圖，已知圓C：x2+y2=r2與x軸負半軸的交點為A．由點A出發的射線l的斜率為k，且k為有理數．射線l與圓C相交于另一點B．
（1）當r=1時，試用k表示點B的坐標；
（2）當r=1時，試證明：點B一定是單位圓C上的有理點；（說明：坐標平面上，橫、縱坐標都為有理數的點為有理點．我們知道，一個有理數可以表示為
qp
，其中p、q均為整數且p、q互質）
（3）定義：實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數的雙曲線為“整勾股雙曲線”．
當0＜k＜1時，是否能構造“整勾股雙曲線”，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標、縱坐標和半徑r的數值構成？若能，請嘗試探索其構造方法；若不能，試簡述你的理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知圓與軸負半軸的交點為. 由點出發的射線的斜率為. 射線與圓相交于另一點

（1）當時，試用表示點的坐標；

（2）當時，求證：“射線的斜率為有理數”是“點為單位圓上的有理點”的充要條件；（說明：坐標平面上，橫、縱坐標都為有理數的點為有理點.我們知道，一個有理數可以表示為，其中、均為整數且、互質）

（3）定義：實半軸長、虛半軸長和半焦距都是正整數的雙曲線為“整勾股雙曲線”.

當為有理數且時，試證明：一定能構造偶數個“整勾股雙曲線”(規定：實軸長和虛軸長都對應相等的雙曲線為同一個雙曲線)，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點的橫坐標、縱坐標和半徑的數值構成. 說明你的理由并請嘗試給出構造方法.

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年安徽省六安市徐集中學高三（上）摸底數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知圓C的方程為：x2+y2-6x-8y+21=0，平面上有A（1，0）和B（-1，0）兩點．
（I）在圓上求一點Q，使△ABQ的面積最大，并求出最大面積；
（II）在圓上求一點P，使|AP|2+|BP|2取得最小值．

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科目：高中數學 來源：2010年上海市普陀區高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知圓C：x2+y2=r2與x軸負半軸的交點為A．由點A出發的射線l的斜率為k，且k為有理數．射線l與圓C相交于另一點B．
（1）當r=1時，試用k表示點B的坐標；
（2）當r=1時，試證明：點B一定是單位圓C上的有理點；（說明：坐標平面上，橫、縱坐標都為有理數的點為有理點．我們知道，一個有理數可以表示為，其中p、q均為整數且p、q互質）
（3）定義：實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數的雙曲線為“整勾股雙曲線”．
當0＜k＜1時，是否能構造“整勾股雙曲線”，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標、縱坐標和半徑r的數值構成？若能，請嘗試探索其構造方法；若不能，試簡述你的理由．

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