Question

【題目】如圖，三棱柱的側面是正方形，平面平面，，，點在上，，是的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）判斷平面與平面是否垂直，直接寫出結論，不必說明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）平面平面（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）連結交于，因為為中點，所以，利用線面平行的判定定理即可證出

（Ⅱ）首先利用面面垂直的判定定理即可得出結論.

（Ⅲ）建立空間直角建立坐標系，分別求出平面的一個法向量、平面的一個法向量，利用空間向量的數量積即可求解.

（Ⅰ）如圖所示，

連結交于，因為為中點，所以，

又因為平面, 平面,

所以平面.

（Ⅱ）平面平面.

（Ⅲ）如圖建立坐標系，設，，，

設平面的一個法向量為，則，，

令，則，同理可得平面的一個法向量為，

所以，

因為二面角為銳二面角，

所以求二面角的余弦值為.