Question

頂點為P的圓錐的軸截面積是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點，O為底面圓的圓心，AB⊥OB，垂足為B，OH⊥PB，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點，則當三棱錐O-HPC的體積最大時，OB的長是（　　）

• A、

  5

  3

• B、

  2 5

  3

• C、

  6

  3

• D、

  2 6

  3

Answer 1

分析：畫出圖形，說明PC是三棱錐P-OCH的高，△OCH的面積在OH=HC=

2

時取得最大值，求出OB即可．

解答：解：AB⊥OB，可得PB⊥AB，即AB⊥面POB，所以面PAB⊥面POB．
OH⊥PB，則OH⊥面PAB，OH⊥HC，OH⊥PC，
又，PC⊥OC，所以PC⊥面OCH．即PC是三棱錐P-OCH的高．PC=OC=2．
而△OCH的面積在OH=HC=

2

時取得最大值（斜邊=2的直角三角形）．
當OH=

2

時，由PO=2

2

，知∠OPB=30°，OB=POtan30°=

2 6

3

．
故選D．

點評：本題考查圓錐的結構特征，棱錐的體積等知識，考查空間想象能力，是中檔題．