Question

已知數列前項和滿足，等差數列滿足
（1）求數列的通項公式
（2）設，數列的前項和為，問的最小正整數n是多少？

Answer 1

（1）a_n＝2^n－1，b_n＝2n－1（2）101

試題分析：(1)當n＝1時，a₁＝S₁＝2a₁－1，∴a₁＝1.
當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝(2a_n－1)－(2a_n－1－1)＝2a_n－2a_n－1，即＝2.      ……2分
∴數列{a_n}是以a₁＝1為首項，2為公比的等比數列．
∴a_n＝2^n－1，S_n＝2ⁿ－1.                                                   ……3分
設{b_n}的公差為d，b₁＝a₁＝1，b₄＝1＋3d＝7，∴d＝2.
∴b_n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.                                             ……6分
(2)∵c_n＝＝＝，
∴T_n＝
＝＝.                                               ……10分
由T_n>，得>，解得n>100.1.
∴T_n>的最小正整數n是101.                                      ……12分
點評：判斷等差或等比數列時，一是用定義，一是用通項，不論用哪種方法，都不要忘記驗證n=1能否適合公式.