Question

若函數f(x)=

x

x2+2(a+2)x+3a

，(x≥1)能用均值定理求最大值，則需要補充a的取值范圍是

a≥

1

3

．

Answer 1

分析：可將f(x)=

x

x2+2(a+2)x+3a

，(x≥1)轉化為：f(x)=

1

x+ 3a x +2(a+2)

(x≥1)，即求g(x)=x+

3a

x

(x≥1)的最小值時滿足的條件．

解答：解：∵f(x)=

x

x2+2(a+2)x+3a

=

1

x+ 3a x +2(a+2)

(x≥1)，∴若函數f(x)=

x

x2+2(a+2)x+3a

，(x≥1)能用均值定理求最大值時a滿足的條件即為g(x)=x+

3a

x

(x≥1)應用均值定理取得最小值時滿足的條件所求．
顯然a＞0，由x+

3a

x

≥2

3a

，當且僅當x=

3a

x

，即x=

3a

時取“=”；∵x≥1∴

3a

≥1，∴a≥

1

3

．
故答案為：a≥

1

3

．

點評：本題考查基本不等式，考查學生的分析與轉化能力，屬于中檔題．