Question

已知函數（其中a為常數，e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）當a=時，判斷函數f（x）的單調性并寫出其單調區間；
（Ⅱ）當a＞0時，求證：f（x）=0沒有實數解．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件知函數f（x）的定義域是（0，+∞），求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，
（II）令，當a＞0時，f（x）＞，，令h′（x）＞0，可得出h（x）在（0，e）上為增函數，（e，+∞）上為減函數，從而得出h（x）最大值，最終得到即＞0恒成立，從而f（x）=0無解．或者設f （x）的極小值點為x，利用其最小值恒大于0即可證得f（x）=0沒有實數解．
解答：解：（Ⅰ）因為x＞0，
當a=時，==，
令f'（x）＞0，所以，
令f'（x）＜0，所以；
所以函數f（x）的單調增區間為；
單調減區間為．-------------------------------------（7分）

（Ⅱ）解一：令
當a＞0時，----------------------------------------------------------（10分）
令h'（x）＞0，則x∈（0，e）
所以h（x）在（0，e）上為增函數，在（e，+∞）上為減函數，
所以h（x）_max=h（e）=---------------------------------------------------------------（13分）
所以x＞0時，g（x）＞h（x）恒成立，即
即，＞0恒成立，
所以f （x）=0無解．----------------------------------------------------------------------（15分）
解二：設f （x）的極小值點為x，則，
令g（x）=，則g'（x）=，---------------------------------（10分）
當x＞e 時，g'（x）＞0，
當x＜e 時，g'（x）＜0，
所以g（x）_min=g（e）=0，即＞0，------------------------------------------（13分）
故＞0恒成立．
所以f （x）=0無解．-------------------------------------------------（15分）
點評：本題主要考查用導數法研究函數的單調性，基本思路是：當函數為增函數時，導數大于等于零；當函數為減函數時，導數小于等于零，已知單調性求參數的范圍往往轉化為求相應函數的最值問題．