Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且經過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）A是橢圓與y軸正半軸的交點，橢圓上是否存在兩點M，N，使得△AMN是以A為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個，并求出直線MN；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，有3個．

【解析】

試題先用待定系數法求出橢圓方程，因為，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于軸，設的斜率為，則的斜率為，寫出的直線方程，分別與橢圓方程聯立，解出點的坐標，同理把，寫出點的坐標，求出，由，列出方程求出值.

試題解析：(Ⅰ)由題解得，．所以橢圓Ω的方程為．

(Ⅱ)由題意可知，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于軸，故可設AM所在直線的方程為，不妨設，則直線AM所在的方程為．

聯立方程消去整理得，解得，將代入可得，故點 .

所以．

同理可得，由，得，

所以，則，解得或．

當AM斜率時，AN斜率；當AM斜率時，AN斜率；當AM斜率時，AN斜率．

綜上所述，符合條件的三角形有個.