Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF₁與直線BF₂平行，AF₂與BF₁交于點P．
（i）若AF₁-BF₂=求直線AF₁的斜率；
（ii）求證：PF₁+PF₂是定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓的性質和已知（1，e）和（e，），都在橢圓上列式求解．
（2）（i）設AF₁與BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my，與橢圓方程聯立，求出|AF₁|、|BF₂|，根據已知條件AF₁-BF₂=，用待定系數法求解；
（ii）利用直線AF₁與直線BF₂平行，點B在橢圓上知，可得，，由此可求得PF₁+PF₂是定值．
解答：（1）解：由題設知a²=b²+c²，e=，由點（1，e）在橢圓上，得，∴b=1，c²=a²-1．
由點（e，）在橢圓上，得
∴，∴a²=2
∴橢圓的方程為．
（2）解：由（1）得F₁（-1，0），F₂（1，0），
又∵直線AF₁與直線BF₂平行，∴設AF₁與BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由，可得（m²+2）-2my₁-1=0．
∴，
∴|AF₁|=①
同理|BF₂|=②
（i）由①②得|AF₁|-|BF₂|=，∴，解得m²=2．
∵注意到m＞0，∴m=．
∴直線AF₁的斜率為．
（ii）證明：∵直線AF₁與直線BF₂平行，∴，即．
 由點B在橢圓上知，，∴．
 同理．
∴PF₁+PF₂==
 由①②得，，，
∴PF₁+PF₂=．
∴PF₁+PF₂是定值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．