Question

設函數f（x）=

1

2

•（

1

4

）^x-1+a•（

1

2

）^x-a+2
（1）若a=4，解不等式f（x）＞0；
（2）若方程f（x）=0有負數根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若a=4，直接解不等式f（x）＞0即可；
（2）根據方程f（x）=0有負數根，利用換元法轉化為二次函數，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）若a=4，f（x）=

1

2

•（

1

4

）^x-1+4•（

1

2

）^x-2=2(

1

4

)x+4•(

1

2

)x-2
令t=（

1

2

）^x，則t＞0，
即函數等價為g（t）=2t²+4t-2，由g（t）=2t²+4t-2＞0，
解得t＞

2

-1，
由（

1

2

） x＞

2

-1，
解得0＜x＜log2(

2

+1)．
（2）若方程f（x）=0有負數根，即當x＜0時，f（x）=0有解，
令t=（

1

2

）^x，則t＞1，
則g（t）=2t²+at+2-a，在t＞1時有解．
∵g（1）=2+2=4＞0，
∴要使g（t）在t＞1時有解．
則

- a 4 ＞1 △=a2-8(2-a)≥0

，即

a＜-4 a2+8a-16≥0

，
∴

a＜-4 a≤-4-4 2 或a≥-4+4 2

，
解得a≤-4-4

2

，
即a的取值范圍a≤-4-4

2

．

點評：本題主要考查指數函數的圖象和性質，利用換元法將指數函數轉化為二次函數，是解決本題的關鍵．