Question

已知函數.
（1）證明：；
（2）當時，，求的取值范圍.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題考查導數的運算以及利用導數研究函數的單調性、最值等基礎知識，考查綜合分析問題解決問題的能力、轉化能力和計算能力.第一問，因為，所求證，所以只需分母即可，設函數，對求導，判斷函數的單調性，求出最小值，證明最小值大于0即可，所求證的不等式的右邊，需證明函數的最大值為1即可，對求導，判斷單調性求最大值；第二問，結合第一問的結論，討論的正負，當時，，而與矛盾，當時，當時，與矛盾，當時，分母去分母，等價于，設出新函數，需要討論的情況，判斷在每種情況下，是否大于0，綜合上述所有情況，寫出符合題意的的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）設，則．
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增．
所以．
又，故．           2分

當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減．
所以．
綜上，有．           5分
（Ⅱ）（1）若，則時，，不等式不成立．  6分
（2）若，則當時，，不等式不成立．  7分
（3）若，則等價于．  ①
設，則．
若，則當，，單調遞增，． 9分
若，則當，，單調遞減，．
于是，若，不等式①成立當且僅當．      11分
綜上，的取值范圍是．