
證明:(I)作BM⊥CD,垂足為M,連接AM.
因為AB∥CD,AD⊥DC,BM⊥CD,且AB=AD=1,
∴四邊形ABMD是正方形
∴BM=DM=1,BD=

又∵

,
∴CM=

=1
∴CD=2,即CD
2=BD
2+BC
2∴DB⊥BC,
又∵DB⊥B′B,B′B∩BC=B
∴DB⊥平面BC′
而BC′?平面BC′
∴DB⊥BC′
解:(II)設AM與BD交于點E,連接A′E
由(I)知,ME⊥BD,且DE=BE
∵A′A⊥平面ABCD,
∴A′A⊥AD,A′A⊥AB
又∵AB=AD=1,∴A′D=A′B
又∵DE=BE,
∴A′E⊥BD
綜上可知∠A′EM即為二面角A′-BD-C的平面角,
在△A′AE中,∵A′A=

,AE=

BD=

∴tan∠A′EA=

=

即∠A′EA=60°
∴∠A′EM=120°
∴二面角A′-BD-C的大小為120°
分析:(I)作BM⊥CD,垂足為M,連接AM.由已知中AB∥CD,AD⊥DC,且AB=AD=1,易得到四邊形ABMD是正方形,則正方形的對角線BD=

,由勾股定理即可得到DB⊥BC′;
(II)設AM與BD交于點E,連接A′E,結合(I)中結論,可證得∠A′EM即為二面角A′-BD-C的平面角,解三角形A′AE,求出∠A′EA大小后,根據∠A′EA與∠A′EM互為鄰補角,即可得到二面角A′-BD-C的大。
點評:本題考查的知識點是直線與直線垂直的判定,二面角的求法,其中(I)的關鍵是熟練掌握證明線線垂直的方法,(II)的關鍵是證得∠A′EM即為二面角A′-BD-C的平面角,將二面角問題轉化為解三角形問題.