Question

【題目】已知橢圓的焦距為4．且過點．

（1）求橢圓E的方程；

（2）設，，，過B點且斜率為的直線l交橢圓E于另一點M，交x軸于點Q，直線AM與直線相交于點P．證明：（O為坐標原點）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據題意可求出焦點坐標，再根據橢圓的定義即可求出，然后根據求出，即可得到橢圓E的方程（或直接根據點在橢圓上，以及，即可解出）；

（2）由直線l的方程可得點，聯立直線l與橢圓的方程可計算出點的坐標，再根據聯立直線與直線的方程可得點的坐標，然后根據斜率公式分別計算出直線的斜率，根據斜率相等，即可證得．

（1）由題可知，，，

橢圓的左，右焦點分別為，．

由橢圓的定義知，

，，

橢圓E的方程為．

（另解：由題可知，解得）．

（2）易得，，，

直線與橢圓聯立，得，

，從而，．

直線AM的斜率為，直線AM的方程為．

令，得，

直線PQ的斜率．

直線OC的斜率，

，從而．