Question

已知函數y=x³+ax²﹣5x+b在x=﹣1處取得極值2．

（I）求實數a和b；

（Ⅱ）求f（x）的單調區間．

Answer 1

考點：

利用導數研究函數的單調性；函數在某點取得極值的條件．

專題：

導數的概念及應用．

分析：

（I）先求函數f（x）的導函數，再根據函數f（x）在x=﹣1處取得極值2得到，解方程即可；

（Ⅱ）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間即可．

解答：

解：（1）由于f'（x）=3x²+2ax﹣5

而函數y=x³+ax²﹣5x+b在x=﹣1處取得極值2，則f'（﹣1）=0，f（﹣1）=2

即解得

故實數a和b都為﹣1；

（2）由于f′（x）=3x²+2ax﹣5=（3x﹣5）（x+1）

若令f′（x）＞0，則；若令f^′（x）＜0，則．

故f（x）的單調遞增區間為：（﹣∞，﹣1），；f（x）的單調遞減區間為：．

點評：

本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及函數的零點和函數在某點取得極值的條件，屬于基礎題．