Question

已知數列，滿足：，當時，；對于任意的正整數，．設的前項和為.

（1）計算，并求數列的通項公式；

（2）求滿足的的集合.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】(1)先求出數列的通項公式是求解本題的關鍵.由及兩式相減可得：，所以數列的奇數項和偶數項各自成等差數列，公差為，而，故是公差為的等差數列.

（2）在第（1）問的基礎上，可求出{}的通項公式，進而求出的通項公式.

然后再根據通項公式的特點采用數列求和的方法求和,之后再確定s_n的單調性進而確定其取值范圍.

解：（1）在中，取，得，又，，故同樣取可得……………………分

由及兩式相減可得：，所以數列的奇數項和偶數項各自成等差數列，公差為，而，故是公差為的等差數列，……………………分

注：猜想而未能證明的扣分；用數學歸納法證明不扣分.

（2）在中令得……………………分

又，與兩式相減可得：，，即當時， 

經檢驗，也符合該式，所以，的通項公式為………………9分

.

相減可得：

利用等比數列求和公式并化簡得：……………………11分

可見，，……………………12分

經計算，，注意到 的各項為正，故單調遞增，所以滿足的的集合為……………………14分.