Question

【題目】已知O為坐標原點，P（x，y）為函數y=1+lnx圖象上一點，記直線OP的斜率k=f（x）． （Ⅰ）若函數f（x）在區間（m，m+ ）（m＞0）上存在極值，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）當x≥1時，不等式f（x）≥ 恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 由題意知， ， 所以
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
故f（x）在x=1處取得極大值．
∵函數f（x）在區間 上存在極值．
∴ 得 ，即實數m的取值范圍是 ．
（Ⅱ） 由題意 得 ，
令 ，則 ，
令h（x）=x﹣lnx，（x≥1），則 ，
∵x≥1∴h′（x）≥0，
故h（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0從而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴g（x）≥g（1）=2，
∴實數t的取值范圍是（﹣∞，2]
【解析】（1）先根據斜率公式求f（x），再由極值確定m的取值范圍，（Ⅱ）恒成立問題通常轉化為最值問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．