Question

【題目】已知四棱柱的底面是邊長為的菱形，且，平面，，設為的中點

（1）求證：平面

（2）點在線段上，且平面，求平面和平面所成銳角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明略；（2）

【解析】試題分析：（1）由已知該四棱柱為直四棱柱，且為等邊三角形，，所以平面，故，在中的三邊長分別為，所以,所以，故平面；

（2）取中點，則由為等邊三角形，知，從而，以為坐標軸，建立空間直角的坐標系，求得平面和平面的法向量，即可求得平面和平面所成銳角的余弦值．

試題解析：（1）證明：由已知該四棱柱為直四棱柱，且為等邊三角形，

所以平面，而平面，故

因為的三邊長分別為，故為等腰直角三角形

所以，結合知：平面

（2）解：取中點，則由為等邊三角形

知，從而

以為坐標軸，建立如圖所示的坐標系

此時,

，設

由上面的討論知平面的法向量為

由于平面，故平面

故，故

設平面的法向量為，

由知，取，故

設平面和平面所成銳角為，則

即平面和平面所成銳角的余弦值為