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已知定義在正實數集上的函數，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．

(I)用表示，并求的最大值；

(II)求證：()．

 解：(Ⅰ)設與在公共點處的切線相同．

，，………1分

由題意，．

即由得：，或(舍去)．

即有．………4分

令，則．于是

當，即時，；

當，即時，．

故在為增函數，在為減函數，……8分

于是在的最大值為．…………9分

(Ⅱ)設………10分

則．………11分

故在為減函數，在為增函數，

于是函數在上的最小值是．13分

故當時，有，即當時，．………14分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在正實數集上的函數f（x）=x2+4ax+1，g（x）=6a2lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）設h（x）=f（x）+g（x），證明：若a≥
3
-1，則對任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2有
h(x2)-h(x1)
x2-x1
＞8．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在正實數集上的函數f(x)=
12
x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0，設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求證：f（x）≥g（x）（x＞0）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在正實數集上的函數f（x）滿足①若x＞1，則f（x）＜0；②f(
12
)=1；③對定義域內的任意實數x，y，都有：f（xy）=f（x）+f（y），則不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在正實數集上的連續函數f(x)=
1
1-x
+
2
x2-1
(0＜x＜1)
x+a   (x≥1)
，則實數a的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•河西區二模）已知定義在正實數集上的函數f（x）=
3x22
+ax，g（x）=4a2lnx+b，其中a＞0，設兩曲線x=f（x）與f=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同．
（I）若a=1，求兩曲線y=f（x）與y=g（x）在公共點處的切線方程；
（Ⅱ）用a表示b，并求b的最大值．

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