Question

已知f(x)=ax-

1

x

，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常數）．
（1）求曲線y=g（x）在點P（1，g（1））處的切線l．
（2）是否存在常數a，使l也是曲線y=f（x）的一條切線．若存在，求a的值；若不存在，簡要說明理由．
（3）設F（x）=f（x）-g（x），討論函數F（x）的單調性．

Answer 1

（1）g（1）=0，所以P的坐標為（1，0），
g′(x)=

1

x

，則切線的斜率k=g′（1）=1，
所以直線l的方程為y-0=1（x-1），化簡得y=x-1；
（2）由f(x)=ax-

1

x

，得f′（x）=a+

1

x2

，
設y=f（x）在x=x₀處的切線為l，
則有

ax0- 1 x0 =x0-1 a+ 1 x02 =1

，解得

x0=2 a= 3 4

，
即當a=

3

4

時，l是曲線y=f（x）在點Q（2，1）的切線；
（3）F′(x)=a+

1

x2

-

1

x

=a+(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

．
當a≥

1

4

，a-

1

4

≥0時，F′（x）≥0，F（x）在（0，+∞）單調遞增；
當a=0時，F′(x)=

1

x2

-

1

x

=

1-x

x2

，F（x）在（0，1]單調遞增，在（1，+∞）單調遞減；
當0＜a＜

1

4

時，解F′（x）=0得x1=

1- 1-4a

2a

，x2=

1+ 1-4a

2a

，
F（x）在（0，x₁]和（x₂，+∞）單調遞增，在（x₁，x₂]單調遞減；
當a＜0時，解F′（x）=0得x1=

1- 1-4a

2a

＞0，x2=

1+ 1-4a

2a

＜0（x₂舍去），
F（x）在（0，x₁]單調遞增，在（x₁，+∞）單調遞減．