Question

設過點A（p，0）（p＞0）的直線l交拋物線y²=2px（p＞0）于B、C兩點，
（1）設直線l的傾斜角為α，寫出直線l的參數方程；
（2）設P是BC的中點，當α變化時，求P點軌跡的參數方程，并化為普通方程．

Answer 1

分析：（1）先將l的參數方程寫成為

x=p+tcosα y=tsinα

(t為參數)其中α≠0；
（2）將直線的參數方程代入拋物線方程中有：t²sin²α-2ptcosα-2p²=0，設B、C兩點對應的參數為t₁，t₂，其中點P的坐標為（x，y），利用參數的幾何意義得出：y²=px-p²即為P點軌跡的參數方程．

解答：解：（1）l的參數方程為

x=p+tcosα y=tsinα

(t為參數)其中α≠0
（2）將直線的參數方程代入拋物線方程中有：t²sin²α-2ptcosα-2p²=0
設B、C兩點對應的參數為t₁，t₂，其中點P的坐標為（x，y），則點P所對應的參數為

t1+t2

2

，
由

t1+t2= 2pcosα sin2α t1t2= -2p2 sin2α

，當α≠90°時，應有

x=p+ t1+t2 2 cosα=p+ p tan2α y= t1+t2 2 sinα= p tanα

（α為參數）
消去參數得：y²=px-p²
當α=90°時，P與A重合，這時P點的坐標為（p，0），也是方程的解
綜上，P點的軌跡方程為y²=px-p²

點評：本題考查求直線的參數方程的方法，把極坐標方程化為普通方程的方法，以及直線方程中參數的意義．