Question

不等式組

-x+y-2≤0 x+2y-4≤0 y+a≥0

（其中a∈R）表示的平面區域記為D，?P（x，y）∈D，z=x+y的最大值和最小值分別為M、m，已知m=-4．
①求a和M的值；
②在D中隨機取一點P（x，y），求z≤

M

2

的概率．

Answer 1

分析：①先根據a的不同取值畫出可行域，再利用m=-4求出對應的a和M的值即可．（一定要分類討論）．
②由①的結論知分M的兩種情況分別求出整個區域的面積和對應的點P所在區域的面積，再利用幾何概型的計算公式求出z≤

M

2

的概率．

解答：解：①如圖，z=x+y的值就是平面上直線z=x+y在y軸上的截距，
而且當P是直線y+a=0與直線-x+y-2=0的交點、直線y+a=0與直線x+2y-4=0的交點時，取得最大（小值）．
解

-x+y-2=0 y+a=0

得

x=-a-2 y=-a

，
解

x+2y-4=0 y+a=0

得

x=2a+4 y=-a

z₁=-2a-2，z₂=a+4．
若z₁＞z₂，即a＜-2，則m=z₂=-4，a=-8，M=z₁=14；
若z₁＜z₂，即a＞-2，則m=z₁=-4，a=1，M=z₂=5．
所以，a=-8、M=14，或a=1、M=5．
②若a=-8、M=14，則z≤

M

2

即x+y≤7．直接計算知區域D的面積S=

1

2

×|[(2a+4)-(-a-2)]×(a+2)|=

3

2

(a+2)2=54，
區域D中x+y≤7部分的面積s=54-

63

4

=

153

4

，
所求概率p=

s

S

=

17

24

．
若a=1、M=5，則z≤

M

2

即x+y≤

5

2

．區域D的面積S=

27

2

，
區域D中x+y≤

5

2

部分的面積s=

27

2

-

15

8

=

93

8

，
所求概率p=

s

S

=

31

36

．

點評：這是含參數的、線性規劃與幾何概型的綜合，解題關鍵是數形結合，能適時運用坐標的幾何意義、點到直線距離或平行直線間的距離．