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【題目】已知函數.

（1）當時，不等式恒成立，求的最小值；

（2）設數列，其前項和為，證明：.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1），分，，三種情況推理即可；

（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到證明.

（1）由，得.

當時，方程的，因此在區間

上恒為負數.所以時，，函數在區間上單調遞減.

又，所以函數在區間上恒成立；

當時，方程有兩個不等實根，且滿足，

所以函數的導函數在區間上大于零，函數在區間

上單增，又，所以函數在區間上恒大于零，不滿足題意；

當時，在區間上，函數在區間

上恒為正數，所以在區間上恒為正數，不滿足題意；

綜上可知：若時，不等式恒成立，的最小值為.

（2）由第（1）知：若時，.

若，則，

即成立.

將換成，得成立，即

，

以此類推，得，

，

上述各式相加，得，

又，所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，、分別是橢圓長軸的左、右端點，為橢圓上的動點.

（1）求的最大值，并證明你的結論；

（2）設直線的斜率為，且，求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的準線過橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點F，且點F到直線l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點F做直線與橢圓C交于A，B兩點，P是AB的中點，線段AB的中垂線交直線l于點Q.若，求直線AB的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在正方形中，，分別為棱和棱的中點，則下列說法正確的是( )

A.∥平面B.平面截正方體所得截面為等腰梯形

C.平面D.異面直線與所成的角為60°

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】根據國家統計局數據，1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元，實際增長了242倍多，綜合國力大幅提升.

將年份1978，1988，1998，2008，2018分別用1，2，3，4，5代替，并表示為；表示全國GDP總量，表中，.

3

26.474

1.903

10

209.76

14.05

（1）根據數據及統計圖表，判斷與（其中為自然對數的底數）哪一個更適宜作為全國GDP總量關于的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由），并求出關于的回歸方程.

（2）使用參考數據，估計2020年的全國GDP總量.

線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：

，.

參考數據：

4

5

6

7

8

的近似值

55

148

403

1097

2981

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在2019年女排世界杯中，中國女排與巴西女排對壘中采用“五局三勝”制，即哪個隊先勝三場即獲得勝利.根據以往比賽數據統計，中國女排每局獲勝概率為，巴西女排每局獲勝概率為.

（1）中國女排戰勝巴西女排的概率；

（2）比賽中中國女排第一局獲勝，在該條件下求比賽總局數的分布列及.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知為圓上的動點，點在圓的半徑上運動，點在上，且滿足，其中.

（1）求點的軌跡方程；

（2）設不過原點的直線與點的軌跡交于兩點，且點關于恒過定點的直線對稱.求面積的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知正四棱柱的底面邊長,側棱長,它的外接球的球心為，點 是的中點，點是球上的任意一點，有以下命題：

① 的長的最大值為9;

②三棱錐的體積的最大值是;

③存在過點的平面，截球的截面面積為;

④三棱錐的體積的最大值為20；

⑤過點的平面截球所得的截面面積最大時，垂直于該截面.

其中是真命題的序號是___________

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】給出下列四個命題：

①某班級一共有52名學生，現將該班學生隨機編號，用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知7號、33號、46號同學在樣本中，那么樣本中另一位同學的編號為23；

②一組數據1，2，3，3，4，5的平均數、眾數、中位數都相同；

③一組數據，0，1，2，3，若該組數據的平均值為1，則樣本的標準差為2；

④根據具有線性相關關系的兩個變量的統計數據所得的回歸直線方程為中，，，，則.

其中真命題為（ ）

A.①②④B.②④C.②③④D.③④

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