Question

函數f(x)＝－ax²＋4x＋1的定義域為[－1，2]，

(1)若a＝2，求函數f(x)的值域；

(2)若a為非負常數，且函數f(x)是[－1，2]上的單調函數，求a的范圍及函數f(x)的值域．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當a＝2時，f(x)＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3　　2分 　　當x∈[－1，1]時，f(x)單調遞減，當x∈[－1，2]時，f(x)單調遞增， 　　f(x)max＝f(1)＝3，又∵f(－1)＝－5，f(2)＝1，∴f(x)min＝f(－1)＝－5， 　　∴f(x)的值域為[－5，3]　　6分 　　(2)當a＝0時，f(x)＝4x＋1，在[－1，2]內單調遞增，∴值域為[－3，9]　　7分 　　當a＞0時，f(x)＝　　8分 　　又f(x)在[－1，2]內單調　∴解得0＜a≤1 　　綜上：0≤a≤1　　10分 　　當0≤a≤1，f(x)在[－1，2]內單調遞增，∴值域為[－a－3，－4a＋9] 　　f(x)min＝f(－1)＝－a－3，f(x)max＝f(2)＝－4a＋9，∴值域為[－a－3，－4a＋9] 　　∴a的取值范圍是[0，1]，f(x)值域為[－a－3，－4a＋9]　　12分