Question

（2012•河南模擬）選修4-4：坐標系與參數方程
以直角坐標系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數方程為

x= 1 2 +tcosα y=tsinα

（t為參數，0＜α＜π），曲線C的極坐標方程為ρ=

2cosθ

sin2θ

，
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程：
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于A、B兩點，當a變化時，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析：（I ）利用x=ρcosθ，y=ρsin，θρ²=x²+y²轉化即可．
（II）設A，B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，則|AB|=|t₁-t₂|，化為關于α的函數求解．

解答：解：（I ）由ρ=

2cosθ

sin2θ

，得（ρsinθ）²=2ρcosθ，化為直角坐標方程為y²=2x．
（II）將直線l的參數方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcosα-1=0
設A，B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，則
t₁+t₂=

2cosα

sin2α

，t₁t₂=-

1

sin2α

∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

4cos2α sin4α + 4 sin2α

=

2

sin2α

當α=

π

2

時，sin²α取得最大值1，從而|AB|的最小值為2．

點評：本題考查極坐標方程與直角坐標方程的轉化，參數方程中參數的意義．考查轉化、計算能力．屬于中檔題．