Question

（本題滿分12分）

已知函數.

（1）當時，求證：函數在上單調遞增；

（2）若函數有三個零點，求的值；

（3）若存在，使得，試求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：，由于所以故函數在上單調遞增（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）

由于，故當時，，所以，

故函數在上單調遞增-----------------------------------4分

（2）當時，因為，且在R上單調遞增，

故有唯一解

所以的變化情況如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	遞減	極小值	遞增

又函數有三個零點，所以方程有三個根，

而，所以，解得 -----------8分

（3）因為存在，使得，

所以當時，

由（Ⅱ）知，在上遞減，在上遞增，

所以當時，，

而，

記，因為（當時取等號），

所以在上單調遞增，而，

所以當時，；當時，，

也就是當時，；當時，

①當時，由，

②當時，由，

綜上知，所求的取值范圍為------------------12分

考點：函數單調性零點及最值

點評：將函數零點問題不等式恒成立問題轉化為求函數最值