Question

設不等式確定的平面區域為，確定的平面區域為
（1）定義橫、縱坐標為整數的點為“整點”，在區域內任取個整點，求這些整點中恰有個整點在區域內的概率；
（2）在區域內任取個點，記這個點在區域內的個數為，求的分布列，數學期望及方差．

Answer 1

（1）．（2）的分布列為：

	0	1	2	3

的數學期望．

（1）由題意知本題是一個古典概型，用列舉法求出平面區域U的整點的個數N，平面區域V的整點個數為n，這些整點中恰有2個整點在區域V的概率
（1）依題可得：平面區域U的面積為：π•2²=4π，平面區域V的面積為： ×2×2=2，在區域U內任取1個點，則該點在區域V內的概率為
易知：X的可能取值為0，1，2，3，則X∽B（3，） ，代入概率公式即可求得求X的分布列和數學期望和方差
（1）依題可知平面區域的整點有
共有13個，  ……2分
平面區域的整點為共有5個，∴．……4分
（2）依題可得：平面區域的面積為：，平面區域的面積為：．
在區域內任取1個點，則該點在區域內的概率為，  ……1分  
法一：顯然，則，……3分
∴的分布列為：

	0	1	2	3

故，……3分
法二：的可能取值為，                     
 ．
∴的分布列為：

	0	1	2	3

的數學期望