Question

求經過直線x-2y+4=0和圓x²+y²+2x-4y+1=0的交點,且滿足下列條件之一的圓的方程.

(1)過原點;

(2)有最小面積.

Answer 1

思路解析：本題所求的圓都過直線和圓的交點,可以設過直線和圓交點的圓系方程,再代入相關條件即可.

解：根據條件設所求圓的方程為x²+y²+2x-4y+1+λ(x-2y+4)=0.

(1)把原點(0,0)代入所設的圓的方程可得1+4λ=0,所以λ=-.

故所求圓的方程為x²+y²+2x-4y+1-(x-2y+4)=0.

整理可得x²+y²+x-y=0.

(2)由圓的性質可知當半徑最小時,圓的面積最小,因此只有當已知直線和已知圓相交截得的弦長恰好為所求圓直徑時,半徑最小，也即所求圓的圓心(-,λ+2)在直線x-2y+4=0上,即--2×(λ+2)+4=0.解之得λ=-.

代入可得所求圓的方程為x²+y²+2x-4y+1-(x-2y+4)=0,即x²+y²+=0.