Question

（2012•成都模擬）己知函數h（x）=

x2-4x+m

x-2

（x∈R，且x＞2）的反函數的圖象經過點（4，3），將函數y=h（x）的圖象向左平移2個單位后得到函數y=f（x）的圖象．
（I ）求函數f（x）的解析式；
（II）若g（x）=f（x）+

a

x

，g（x）在區間（0，3]上的值不小于8，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據互為反函數的兩個函數的對稱性得出函數h（x）=

x2-4x+m

x-2

（x∈R，且x＞2）的圖象經過點（3，4），將點的坐標代入函數解析式得出m，由于h（x）=

x2-4x+m

x-2

=（x-2）+

3

x-2

，從而f（x）=h（x+2）=x+

3

x

．
（II）根據題意得出x+

3+a

x

≥8有a≥-x²+8x-3，令t（x）=-x²+8x-3，則t=-（x-4）²+13，利用t（x）在（0，3）上是增函數．求出其最大值，從而得到實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數h（x）=

x2-4x+m

x-2

（x∈R，且x＞2）的反函數的圖象經過點（4，3），
∴函數h（x）=

x2-4x+m

x-2

（x∈R，且x＞2）的圖象經過點（3，4），
∴

32-4×3+m

3-2

=4，⇒m=7，
∴h（x）=

x2-4x+m

x-2

=（x-2）+

3

x-2

，
∴f（x）=h（x+2）=x+

3

x

． …（3分）
（Ⅱ）∵g（x）=x+

3+a

x

，
∴由已知有x+

3+a

x

≥8有a≥-x²+8x-3，
令t（x）=-x²+8x-3，則t=-（x-4）²+13，于是t（x）在（0，3）上是增函數．
∴t（x）_max=12．
∴a≥12．…（12分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、反函數、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．