Question

觀察下列各式：1=1²，2+3+4=3²，3+4+5+6+7=5²，4+5+6+7+8+9+10=7²，…，可得猜想：

n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²

；請對上面的猜想給出證明．

Answer 1

分析：等號的左邊第一個加數是n，后面連續2n-1個自然數的和，等號的右邊是連續2n-1平方，據此進行猜想，最后利用等差數列的求和公式求解即得．

解答：解：由1=1²，
2+3+4=3²，
3+4+5+6+7=5²，
4+5+6+7+8+9+10=7²，…，
可以發現算式規律：n+（n+1）+（n+2）+…+（n+2n-2）=（2n-1）²
證明：左邊=n（2n-1）+

1

2

（2n-1）（2n-2）=（2n-1）²=右邊，
∴左邊=右邊
因此，所猜想的結論正確．
故答案為：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²

點評：先發現式子中特殊數的變化規律，再去發現一般規律，最后驗證．