Question

向量

a

=(sinx，

3

2

)，

b

=（cosx，-1）．
（Ⅰ）

a

與

b

可否垂直？說明理由；
（Ⅱ）設f（x）=（

a

-

b

）•

a

．
（i）y=f（x）在x∈[-

π

2

，0]上的值域；
（ii）說明由y=sin2x的圖象經哪些變換可得y=f（x）圖象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用坐標求其數量積不為0，從而可判斷

a

與

b

不會垂直．
（Ⅱ）先求得函數f（x）=

17

4

-

2

2

sin(2x+

π

4

)（i）整體考慮得-

3π

4

≤t=2x+

π

4

≤

π

4

，進而可求y=f（x）在x∈[-

π

2

，0]上的值域；
（ii）先進行相位變換y=sin2x的圖象(向左平移

π

8

個單位)⇒y=sin(2x+

π

4

)圖象再沿x軸對折，進而將每個點橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的

2

2

倍，將所得圖象上移

17

4

個單位即可．

解答：解：（Ⅰ）

a

⊥

b

=?sinxcosx-

3

2

=0?sin2x=3．這不可能，故

a

與

b

不會垂直．
（Ⅱ）f（x）=

17

4

-

2

2

sin(2x+

π

4

)
（i）-

3π

4

≤t=2x+

π

4

≤

π

4

，
顯見y=sint(t∈[-

3π

4

，

π

4

])的值域為[-1，

2

2

]
故所求值域為[4，

17

4

+

2

2

]
（ii）y=sin2x的圖象(向左平移

π

8

個單位)⇒y=sin(2x+

π

4

)圖象
（沿x軸對折）⇒y=-sin(2x+

π

4

)圖象
（每個點橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的

2

2

倍）⇒y=-

2

2

sin(2x+

π

4

)的圖象（上移

17

4

個單位）⇒y=

17

4

-

2

2

sin(2x+

π

4

)

點評：本題以向量為整體，考查向量的數量積，考查向量與三角函數的關系，考查三角函數圖象的變換．