Question

定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界.

已知函數.

（1）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；

（2）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

(1) 在的值域為,函數在上不是有界函數；

（2）實數的取值范圍為

解析:

（1）當時， 

    因為在上遞減，所以，即在的值域為

故不存在常數，使成立

所以函數在上不是有界函數。  

   （2）由題意知，在上恒成立

，          

∴   在上恒成立

∴    

設，，，由得 t≥1，

設，

所以在上遞減，在上遞增，

在上的最大值為，  在上的最小值為 

所以實數的取值范圍為。