Question

定義：設函數f（x）在（a，b）內可導，若f′（x）為（a，b）內的增函數，則稱f（x）為（a，b）內的下凸函數．
（Ⅰ）已知f（x）=e^x-ax³+x在（0，+∞）內為下凸函數，試求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設f（x）為（a，b）內的下凸函數，求證：對于任意正數λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，
不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）對于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．

Answer 1

解：（I）f（x）=e^x-ax³+x在（0，+∞）內為下凸函數等價于x∈（0，+∞）時，f′（x）=e^x-3ax²+1為增函數；
所以x∈（0，+∞）時，[f′（x）]^′=e^x-6ax≥0恒成立，即恒成立
設，，
令g′（x）=0，得x=1，且當0＜x＜1時，g′（x）＜0；當x＞1時，g′（x）＞0．
所以在x=1時，g（x）取得最小值為，所以
（II）證明：根據上凸函數的定義“f（x）是定義在閉區間[a，b]上的函數，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”
取x=x₁，y=x₂，λ=λ₁，1-λ=1-λ₁=λ₂，而任意正數λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，x₁、x₂∈（a，b）
得不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）對于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．
分析：（I）函數f（x）在（0，+∞）內為下凸函數等價于x∈（0，+∞）時，f′（x）為增函數，則x∈（0，+∞）時，[f′（x）]^′≥0恒成立，將a分離出來，研究不等式另一側的最小值即可求出a的范圍．
（II）利用上凸函數的定義“f（x）是定義在閉區間[a，b]上的函數，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”進行證明即可．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及利用上凸函數的定義證明不等式，屬于難題．