Question

過點（1，4）且與圓x²+（y+1）²=1相切的直線方程是

12x-5y+8=0或 x=1

．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑r，顯然直線x=1與圓相切；當與圓相切的直線斜率存在時，設直線的斜率為k，由直線過（1，4），寫出直線的方程，根據直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，故利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線的方程．

解答：解：由圓x²+（y+1）²=1，得到圓心坐標為（0，-1），半徑為1，
顯然此時直線x=1與圓x²+（y+1）²=1相切；
當與圓相切的直線斜率存在時，設斜率為k，
此時直線的方程為y-4=k（x-1），即kx-y+4-k=0，
∵直線與圓相切，
∴圓心到直線的距離d=

|5-k|

1+k2

=r=1，
整理得：（5-k）²=1+k²，解得：k=

12

5

，
此時直線的方程為

12

5

x-y+

8

5

=0，即12x-5y+8=0，
綜上，所求直線的方程為：12x-5y+8=0或x=1．
故答案為：12x-5y+8=0或x=1

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，直線的點斜式方程，點到直線的距離公式，利用了分類討論的思想，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．