Question

【題目】已知函數 .

（1）求時，的單調區間；

（2）若存在，使得對任意的，都有，求的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）在為減函數，為增函數；（2），證明見解析

【解析】

（1）由得，對函數求導，得到， 令，用導數法方法判斷其單調性，求出在上為增函數，再由，即可求出結果；

（2）先對函數求導，得到，根據題意，得到為在的極小值點，故，設，對函數求導，根據函數單調性，得到，推出，再令，用導數的方法求出其單調性，進而可得出結果.

（1）當時，，

，

令，則，

所以，由得；由得，

即函數在上單調遞減，在上單調遞增，

因此，所以在上單調遞增；

即在上為增函數.

又因為，

所以當時，；當時，；

故在為減函數，為增函數.

(2) ，

因為對任意的恒成立，所以為在的極小值點，故①.

設，則當 時，，

所以在上為增函數，而，.

由①可知，從而 ，故.

又由，即，

所以

.

令，其中，則，為上的減函數，

故，而，

所以.