Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+1）為奇函數．若f（2）=1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=（ ）
A.1
B.2014
C.0
D.﹣2014

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵y=f（x+1）是定義在R上的奇函數， ∴f（﹣x+1）=﹣f（x+1），
∵函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（﹣x）=f（x）
即有f（﹣x﹣1）=f（x+1），
則f（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x+1），
即f（x+1）=﹣f（x﹣1），即有f（x+2）=﹣f（x），
則f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
則f（x）的周期是4，
由于f（2）=1，則f（2）=﹣f（0）=1，則f（0）=﹣1，
又f（﹣1）=f（1），f（﹣1）=﹣f（1），則f（1）=0，
又f（3）=﹣f（1）=0，f（4）=f（0）=﹣1，
則有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0+1+0+（﹣1）=0，
由于f（2014）=f（4×503+2）=f（2）
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=0×503+[f（1）+f（2）+f（3）]=1．
故選：A．
【考點精析】掌握函數奇偶性的性質是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．