Question

【題目】已知函數.

（1）求的圖像在處的切線方程；

（2）求函數的極大值；

（3）若對恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）-1；（3）

【解析】

（1）由函數，可得，求出和切點坐標，利用點斜式即可得出切線方程．
（2）由，求得，分析在上單調性和零點，即可得出單調性與極值．
（3）令，求出，對分類討論，利用導數研究其單調性即可得出實數的取值范圍．

解：（1）因為，

所以，所以，

因為經過，

所以的圖像在處的切線方程為；

（2）因為，，

所以，

又在遞減，，

所以在，，即在遞增；

在，，即在遞減，

所以在處，取極大值，；

（3）設，，

所以，

①時，對恒成立，

所以在遞增，

又，

所以時，，

這與對恒成立矛盾，舍去；

②時，設，，，

所以，，

所以對恒成立，

所以在遞減，

又，

所以對恒成立，

所以成立；

③時，設，，，

解得兩根為，，其中，，

所以，，

所以，，，

所以在遞增，

又，

所以，

這與對恒成立矛盾，舍去，

綜上：.