Question

已知函數f（x）=

3

sin2x+2cos²x+1．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）設△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=

3

，f（C）=3，若向量

m

=（sinA，-1）與向量

n

=（2，sinB）垂直，求a，b的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式即公式asinx+bcosx= 

a2+b2

 sin(x+θ)化簡f（x）；利用三角函數的周期公式求出周期；令整體角在正弦的遞增區間上求出x的范圍即為遞增區間．
（II）先求出角C，利用向量垂直的充要條件列出方程得到邊a，b的關系；利用余弦定理得到a，b，c的關系，求出a，b．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sin2x+cos2x+2=2sin(2x+

π

6

)+2（2分）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，∴函數f（x）的單調遞增區間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈z，
T=

2π

2

=π（4分）
（Ⅱ）由題意可知，f(C)=2sin(2C+

π

6

)+2=3，∴sin(2C+

π

6

)=

1

2

，∵0＜C＜π，∴2C+

π

6

=

π

6

或2C+

π

6

=

5π

6

，即C=0（舍）或C=

π

3

（6分）∵

m

=(sinA，-1)與

n

=(2，sinB)垂直，∴2sinA-sinB=0，即2a=b（8分）∵c2=a2+b2-2abcos

π

3

=a2+b2-ab=3②（10分）
由①②解得，a=1，b=2．（12分）

點評：本題考查三角函數的二倍角公式、考查三角函數的公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)、考查求三角函數的性質常用的方法是整體角處理的方法、考查三角形中的余弦定理．