Question

設函數f（x）=2^x-1的反函數為f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）求f^-1（x）及其定義域；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范圍D；
（3）設H（x）=g（x）-f^-1（x），當x∈D時（D為（2）中所求）時，函數H（x）的圖象與直線y=a有公共點，求實數a的取值范圍．
（4）設H（x）=g（x）-

1

2

f^-1（x），當x∈D時（D為（2）中所求）時，函數H（x）的圖象與直線y=a有公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用反函數的定義即可求出f^-1（x），然后根據f^-1（x）的表達式的特征即可求出其定義域．
（2）利用條件和（1）的結論可得log₂^（x+1）≤log2

3x+1

然后再結合對數函數的定義域和單調性可得

x+1＞0 3x+1＞0 3x+1 ≥x+1

求出x即可．
（3）由條件和（1）可得H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）故要使H（x）的圖象與直線y=a有公共點需使a的取值落在函數H（x）的值域內及問題轉化為求函數H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）的值域故可令t=

3x+1

x+1

（0≤x≤1）然后利用導數判斷其在區間[0，1]的單調性從而可求出t的取值范圍然后根據對數函數的單調性即可得出H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）的值域此即為a的取值范圍．
（4）由條件和（1）可得H（x）=

1

2

log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）然后利用（3）的解題思路即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵y=f（x）=2^x-1
∴x=log₂^（y+1）
∴y=log₂^（x+1）
∵x+1＞0
∴x＞-1
∴函數f（x）=2^x-1的反函數為f^-1（x）=log₂^（x+1）定義域為（-1，+∞）
（2）由（1）可知f^-1（x）≤g（x）等價轉化為若log₂^（x+1）≤log2

3x+1

若log₂^（x+1）≤log2

3x+1

∴

x+1＞0 3x+1＞0 3x+1 ≥x+1

∴0≤x≤1
故D=[0，1]
（3）由條件和（1）可得H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）
令t=

3x+1

x+1

（0≤x≤1）則t^′=

1-3x

2 3x+1 (x+1)2

（0≤x≤1）
∴0≤x≤

1

3

時t=

3x+1

x+1

單調遞增，

1

3

＜x≤1時t=

3x+1

x+1

單調遞減
∴當t=

1

3

時tmax=

3 2

4

∵當x=0時t=1，x=1時t=1
∴1≤t≤

3 2

4

∴0≤log2

3x+1

x+1

≤log2

3 2

4

∴要使函數H（x）的圖象與直線y=a有公共點則有0≤a≤log2

3 2

4

（4）由條件和（1）可得H（x）=

1

2

log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）
令t=

3x+1

x+1

（0≤x≤1）則t′=

2

(x+1)2

＞0在0≤x≤1上恒成立故t=

3x+1

x+1

在0≤x≤1上單調遞增
∴1≤t≤2
∴0≤

1

2

log2

3x+1

x+1

≤

1

2

∴要使函數H（x）的圖象與直線y=a有公共點則有0≤a≤

1

2

點評：本題主要考查反函數的概念．解題的關鍵是第一問要熟記求反函數的步驟：①反解②對調x，y③標明定義域（原函數的值域）而第二問再解對數不等式時要注意不僅要利用對數函數的單調性得出真數的大小關系還應注意真數要大于0．但對于第三問（包括第四問）必須分析出要使H（x）的圖象與直線y=a有公共點需使a的取值落在函數H（x）的值域內及問題轉化為求函數H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）的值域！